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10.3 Comparaison d'une moyenne observée et d'une moyenne théorique

Reprenons l'exemple introductif sur les paquets de cafés. Posons nos deux hypothèses : soit $m$ le poids moyen en grammes d'un paquet de café pris dans la population (l'ensemble des paquets de café produits),

• $H_0$ : $m = 250$
• $H_1$ : $m \not = 250$

Soit $X$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de taille $100$ pris dans la population, associe sa moyenne. On sait, d'après le cours sur l'échantillonnage, que

$$X\ suit\ \mathcal{N}\left(250, \frac{3}{\sqrt{100}}\right)$$

Notez que l'on a utilisé l'estimation de l'écart-type, cependant, quand $n$ est grand, l'ajustement $\sqrt{\frac{n}{(n-1)}}$ devient négligeable, on se permet souvent de l'oublier... Donc,

$$\frac{10}{3}(X- 250)\ suit\ \mathcal{N}(0, 1)$$

Soit $\alpha = 0.05$, fixons $t$ tel que

$$p( \vert X \vert > t ) = \alpha$$

On se souvient que $t = 1.96$. Donc, si les poids des paquets fabriqués par cette usine vérifient bien l'hypothèse nulle, alors

$$p\left( 250 - 1.96\frac{3}{10} < X < 250 + 1.96\frac{3}{10} \right) = 0.95$$

Autrement dit,

$$p( 249.412 < X < 250.588) = 0.95$$

Cela signifie que si l'on renouvelle l'expérience un grand nombre de fois, les moyenne des échantillons tomberont $19$ fois sur $20$ dans l'intervalle ci-dessus. De ce fait, si une moyenne d'un échantillon sort de cette intervalle, on peut considérer

• soit que l'on est dans le cas sur $20$ défavorable
• soit qu'il convient de rejeter l'hypothèse nulle

Comme la probabilité de sortir de l'intervalle est très petite, on applique la méthode du maximum de vraisemblance, et on rejette l'hypothèse nulle. On énonce donc la règle de décision au seuil de risque $\alpha = 0.05$ de la façon suivante :

• Si $X \in [249.412, 250.588]$, alors on accepte $H_0$
• sinon on accepte $H_1$

Dans l'exemple pris ci avant, la différence est significative et on rejette $H_0$.

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