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1.8.3 Factorisation d'un polynôme de degré deux

On factorise un polynôme $p(x) = ax^2 + bx + c$ en le mettant sous la forme $p(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$. Par exemple, le polynôme $p(x) = 2x^2 + 2x - 4$ peut s'écrire $p(x) = 2(x - 1)(x + 2)$. Il suffit pour le vérifier de développer la forme factorisée, en remarquant au passage que le développement est une tâche davantage aisée que la factorisation. Notez bien que certains polynômes ne peuvent pas être factorisés, c'est le cas par exemple de $p(x) = x^2 + 1$ (vous comprendrez pourquoi plus tard...)

On remarque que si un polynôme est exprimé sous forme factorisée, par exemple $p(x) = -3(x - 3)(x + 5)$, alors il est très simple de trouver ses racines. Comme un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul, alors $p(x)$ est nul si et seulement si $x - 3= 0$ ou $x + 5 = 0$. Donc les racines de $p$ sont $3$ et $-5$. Réciproquement, une fois que l'on connaît les racines de $p$, on en déduit immédiatement sa forme factorisée.

Par conséquent, si l'on souhaite factoriser un polynôme $p(x) = ax^2 + bx + c$, on commence par déterminer ses racines (pas nécessairement distinctes) $x_1$ et $x_2$, alors la forme factorisée de $p$ est $a(x - x_1)(x - x_2)$. Il suffit donc de déterminer les racines d'un polynôme pour le factoriser. Par exemple, factorisons le polynôme $p(x) = 2x^2 - 6x + 4$. On sait d'après la section précédente que les deux racines de ce polynôme sont $x_1 = 1$ et $x_2 = 2$, donc $p(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = 2(x - 1)(x - 2)$. On s'en convainc de façon triviale en développant la forme factorisée de $p$.

Lorsque le discriminant est négatif, alors le polynôme n'a pas de racine, donc on ne peut pas le factoriser.

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