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1.23.3.2 Exemple

Cherchons la primitive de $e^{-x}ln(1 + e^x)$ qui s'annule en $1$, cela revient à calculer l'intégrale

$$\int_1^x e^{-t}ln(1 + e^t)dt$$

Posons $u = e^t$, si $t = 1$ alors $u = e^1 = e$, si $t = x$, alors $u = e^x$. On a $$\frac{du}{dt} = e^t$$, d'où $$dt = \frac{du}{u}$$. Donc

$$\int_1^x e^{-t}ln(1 + e^t)dt = \int_e^{e^x} \frac{ln(1 + u)}{u^2}du$$

en intégrant par parties, on a

$$\int_e^{e^x} \frac{ln(1 + u)}{u^2}du = \left[\frac{-1}{u}ln(1... ...)\right]_e^{e^x} - \int_e^{e^x} \frac{-1}{u} \frac{1}{1 + u} du$$

on simplifie,

$$\int_e^{e^x} \frac{ln(1 + u)}{u^2}du = -\left[\frac{ln(1 + u)}{u}\right]_e^{e^x} + \int_e^{e^x} \frac{1}{u(1 + u)} du$$

Décomposons $$\frac{1}{u(1 + u)}$$ en éléments simples : déterminons $a$ et $b$ tels que

$$\frac{1}{u(1 + u)} = \frac{a}{u} + \frac{b}{1 + u}$$

Il vient $a = 1$ et $b = -1$, d'où

$$\frac{1}{u(1 + u)} = \frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u}$$

On en déduit,

$$\int_e^{e^x} \frac{1}{u(1 + u)}du = \int_e^{e^x}\frac{du}{u} - \int_e^{e^x}\frac{du}{1 + u}$$

ce qui nous donne

$$\int_e^{e^x} \frac{1}{u(1 + u)}du = [ln(u)]_e^{e^x} - [ln(1 + u)]_e^{e^x} = x - 1 - ln(1 + e^x) + ln(1 + e)$$

D'ou,

$$\int_1^x e^{-t}ln(1 + e^t)dt = \frac{-1}{e^x}ln(1 + e^x) - \frac{-1}{e}ln(1 + e) + x - 1 - ln(1 + e^x) + ln(1 + e)$$

en simplifiant, on a

$$\int_1^x e^{-t}ln(1 + e^t)dt = (e^{-1} + 1)ln(1 + e) - (e^{-x} + 1)ln(1 + e^x) + (x - 1)$$