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9.3 Estimation par intervalle de confiance d'une moyenne

Il est intéressant, quand on effectue une estimation, de pouvoir mesurer la qualité de cette estimation. En donnant au passage la probabilité que l'on a de se tromper. Nous préfèrerons donc dorénavant des intervalles de confiance.

Reprenons notre problème de poids, nous souhaitons déterminer une intervalle $[a, b]$ tel que la probabilité que le poids moyen soit dans cet intervalle soit égale à $(1 - p)$. $p$ est le risque d'erreur, $1-p$ est le coefficient de confiance. Soit $m_e$ la moyenne observée sur l'échantillon, $\sigma$ ( $=\sqrt{\frac{n}{n-1}}\sigma_e$) l'estimation de l'écart-type. Alors l'intervalle de confiance de la moyenne $m$ avec le coefficient de confiance $(1 - p)$ est

$$[m_e - a\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, m_e + a\frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$$

avec $a$ le réel tel que si $X$ suit $\mathcal{N}(0, 1)$, alors

$$P(-a < X < a) = (1-p)$$

Remarqons que, si $F$ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, alors

$$\begin{eqnarray*} P(-a < X < a) & = & P(X < a) - P(X < -a) \\ & = & F(a) - (1 - P(X > -a)) \\ & = & F(a) - 1 + P(X < a)\\ & = & 2F(a) - 1\\ \end{eqnarray*}$$

Donc on cherche $a$ tel que

$$F(a) = 1 - \frac{p}{2}$$

Par exemple, pour $p=0.05$, on a $a = 1.96$.

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