suivant : 1.17.5 Sommes remonter : 1.17.4 Tirages simultanés précédent : 1.17.4.2 Résolution

1.17.4.3 Généralisation

Nous tirons simultanément $k$ boules dans une urne contenant $n$ boules. Combien de sous-ensembles à $k$ d'un ensemble à $n$ éléments pouvons-nous former de la sorte ? Ce problème revient à déterminer le cardinal de $E = \{e \vert e \subset \{1, \ldots, n\} \wedge \vert e\vert = k\}$. Nous savons que le nombre de $k$-uplets qu'il est possible de former avec $n$ éléments est $$\mathcal{A}_n^k$$. Or, chaque élément de $E$ sera associé à plusieurs $k$-uplets. Nous savons par ailleurs que le nombre de façon d'ordonner $k$ éléments est $k!$. Il y a donc $k!$ fois plus de $k$-uplets formés avec $n$ éléments que de sous-ensembles à $k$ éléments de $\{1, \ldots, n\}$. Nous en déduisons qu'il y a $$\frac{\mathcal{A}_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ sous-ensembles à $k$ éléments de $\{1, \ldots, n\}$. Nous noterons $$\mathcal{C}_n^k$$ le nombre $$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$