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1.6.2.4 Produit de deux matrices

Etant données deux matrices $A$ et $B$ de dimensions respectives $n \times p$ et $p \times q$, le produit de $A$ par $B$ est une matrice $C = A.B$ de dimensions $n \times q$ vérifiant : $\forall i \in \{1, \ldots, n\}, \forall j \in \{1, \ldots, q\}$,

$$c_{ij} = \sum_{k = 1}^p a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + \ldots + a_{ik}b_{kj} + \ldots + a_{ip}b_{pj}$$

Ne nous laissons pas impressioner par la complexité apparente de la formule et faisons un joli dessin en considérant le cas particulier où $n = p = q = 2$, nous allons représenter le produit de $A$ par $B$ de la sorte :

$$\begin{array}{l l} & B\\ A & A.B \end{array}$$

Remplaçons $A$, $B$ et $A.B$ :

$$\begin{array}{l l} & \left(\begin{array}{l l l l}b_{11}& \q... ...{21}&a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{array}\right) \end{array}$$

Observons : on a $c_{11} = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}$. Si l'on extrait la première ligne de $A$ et la première colonne de $B$, on obtient $\left(\begin{array}{l l}a_{11} & a_{12}\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{l}b_{11}\\ b_{21}\end{array}\right)$. On détermine donc $c_{11}$ d'abord en multipliant entre elles les premières composantes de ces deux vecteurs, puis en faisant de même avec les deuxième composantes. La valeur recherchée est la somme de ces deux produits. Si par exemple, on a $A = \left( \begin{array}{l l} 1 & 2\\ 3 & 4\end{array}\right)$ et $B= \left( \begin{array}{l l} 0 & -2\\ 5 & -1\end{array}\right)$, alors

$$\begin{array}{l l} & \left( \begin{array}{l l l l} 0 & \qua... ...es 5 & 3 \times -2 + 4 \times -1 \end{array}\right) \end{array}$$

Ce qui nous donne

$$\left( \begin{array}{l l} 1 & 2\\ 3 & 4\end{array}\right) ... ...ft(\begin{array}{l l} 10 & -4\\ 20 & -10 \end{array}\right)$$

Notez bien que pour qu'il soit possible de multiplier deux matrices, il faut que le nombre de colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la deuxième. La matrice produit a alors autant de lignes que la première matrice et autant de colonnes que la deuxième. Observez maintenant l'exemple suivant, il vous est conseillé de vérifier si le résultat est juste (peut-être qu'une erreur s'est subrepticement glissée quelque part...).

$$\left( \begin{array}{l l l} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{array}... ... \left(\begin{array}{l l} 3 & 7\\ 6 & 19 \end{array}\right)$$

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