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Exercice 6 - limite de la série $$\sum_{i}^\infty \frac{1}{i!}$$

Pour tout $n \in \mbox{I\hspace{-.15em}N}$, on pose

$$a_n = \int_0^1\frac{t^n}{n!}e^{-t}dt$$

1. Calculer $a_0$
2. Montrer que $$0 \leq a_n \leq \frac{1}{(n + 1)!}$$
3. En déduire que $$\lim_{n \rightarrow + \infty} a_n = 0$$
4. Trouver une relation de récurrence entre $a_{n}$ et $a_{n-1}$
5. En déduire que, pour tout $n\geq1$, $$e = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} + ea_n$$
6. Prouver que $$e = \lim_{n \rightarrow + \infty}\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$$