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1.25.1.1 Définitions et notations

Définition 1.25.1   Un équation différentielle est une équation dans laquelle l'inconnue es une fonction. Ce type d'équation met en relation la fonction inconnue avec ses dérivées.

Par exemple, trouver une fonction $f$ telle que

$$f = 2f^{\prime}$$

revient à résoudre une équation différentielle. On note généralement $y$ la fonction inconnue de paramètre $x$. Par exemple, trouver $f$

telle que

$$2f(x) = xf^{\prime}(x)$$

revient à résoudre l'équation différentielle

$$2y - xy^{\prime} = 0$$

Généralement, une équation différentielle a plusieurs solutions. Par exemple, l'équation

$$y = y^{\prime}$$

a pour solution toute fonction de la forme $x \mapsto \lambda e^x$ avec $\lambda \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$. Une équation est souvent accompagnée d'une condition, dite condition initiale, permettant de choisir une solution particulière. Par exemple, la condition $y(0) = 1$ va nous permettre de fixer une valeur particulière de $\lambda$. Dans l'exemple pris ici, $\lambda$ doit être fixé à $1$ pour que la condition initiale soit satisfaite.

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