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1.24.3 Exemple d'application

Calculons

$$\lim_{x \longrightarrow 0}\frac{e^x - 1 - x}{ln(1 + x)}$$

Il existe $\mathcal{E}_1(x)$ et $\mathcal{E}_2(x)$ tels que

$$e^x - 1 - x= \frac{x^2}{2!} + x^2\mathcal{E}_1(x)$$

et

$$ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + x^2\mathcal{E}_2(x)$$

avec $\lim_{x \longrightarrow 0}\mathcal{E}_1(x)$ = $\lim_{x \longrightarrow 0}\mathcal{E}_2(x)$ = $0$ Donc,

$$\lim_{x \longrightarrow 0}\frac{e^x - 1 - x}{ln(1 + x)} = ... ... x^2\mathcal{E}_1(x)}{x - \frac{x^2}{2} + x^2\mathcal{E}_2(x)}$$

Ce qui donne

$$\lim_{x \longrightarrow 0}\frac{e^x - 1 - x}{ln(1 + x)} = ... ...} + x\mathcal{E}_1(x)}{1 - \frac{x}{2} + x\mathcal{E}_2(x)} = 0$$