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1.18.2.2 Opérations ensemblistes sur les événements

Etant donnés deux événements $A$ et $B$, l'union de $A$ et $B$, notée $A \cup B$ est l'événement qui est réalisé si au moins un des deux événements $A$ et $B$ est réalisé. L'intersection de $A$ et $B$, notée $A \cap B$ est l'événement qui est réalisé si les deux événements $A$ et $B$ sont réalisés. Prenons comme exemple l'expérience "tirage d'une carte dans un jeu de $52$ cartes". Soit $A$ l'événement "la carte choisie est de couleur pique" et $B$ l'événement "la carte choisie est une reine". Alors $A \cap B$ est réalisé si la carte choisie est une dame de pique et $A \cup B$ est réalisé si la carte choisie est une dame ou est de couleur pique. On utilise dans les calculs la relation suivante.

Propriété 1.18.2   Soit $A$ et $B$ deux événements, alors

$$p(A) + p(B) = p(A \cup B) + p(A \cap B)$$

Reprenons l'expérience "tirage d'une carte dans un jeu de $52$ cartes" : nous admettrons que $$p(A) = \frac{1}{4}$$, $$p(B) = \frac{1}{13}$$ et $$p(A \cap B) = \frac{1}{52}$$. On a donc $$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{13} - \frac{1}{52} = \frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{4}{13}$$.

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