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4.5.1.3 Binôme de Newton

L'identité remarquable $(a + b)^n$ s'écrit à l'aide des coefficients su triangle de Pascal. Par exemple,

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3 ab^2 + b^3$$

Vous remarquez que le développement de $(a + b)^3$ s'ecrit avec un polynome à deux variables dont la somme des exposants de chaque terme est $3$, chaque terme est donc de la forme $a^ib^{3 - i}$. Les coefficients devant chaque terme sont issus de la ligne d'indice $3$ du triangle de Pascal, à savoir $(1, 3, 3, 1)$, autrement dit $$(\mathcal{C}_3^0, \mathcal{C}_3^1, \mathcal{C}_3^2, \mathcal{C}_3^3)$$. Donc

$$(a + b)^3 = \sum_{i = 0}^3 \mathcal{C}_3^i a^ib^{n-i}$$

On généralise cette formule avec la propriété suivante, appelée Binôme de Newton.

Propriété 4.5.4   $$(a + b)^n = \sum_{p = 0}^n \mathcal{C}_n^pa^pb^{n - p}$$

Par exemple,

$$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

On remarque par ailleurs que la formule $$\sum_{i=0}^{n}\mathcal{C}_n^i = 2^n$$ correspond au cas particulier du binôme de Newton où $a = b = 1$.