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4.1.5.2 Parties de $E$

Définition 4.1.10   L'ensemble $\mathcal{P}(E)$ des parties de $E$, est défini par

$$\mathcal{P}(E) = \{e \vert e \subset E\}$$

$\mathcal{P}(E)$ est donc l'ensemble de tous les ensembles inclus dans $E$. Par exemple,

$$\mathcal{P}(\{1, 2, 3\}) = \{\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \emptyset, \{1, 2, 3\}\}$$

On remarque que $\mathcal{P}(E)$ est un ensemble d'ensembles. Prennez note du fait que $\emptyset$ est un sous-ensemble de tous les ensembles, y compris de lui-même, et que le seul ensemble contenu dans $\emptyset$ est $\emptyset$. A votre avis, que vaut $\mathcal{P}(\emptyset)$ ? Cette question vous amènera à distinuer $\emptyset$ de $\{\emptyset\}$, qui est l'ensemble qui contient l'ensemble vide.