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Exercice 4 - Dérivée de fonctions composées

On rappelle que $f \circ g$ est défini par $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ et que $(f \circ g)^\prime = g^\prime (f^\prime \circ g)$. Etant donné un ensemble $\{f_1, \ldots, f_n\}$ de $n$ fonctions, on note

$$\bigcirc_{i=1}^n [f_i] = f_1 \circ \ldots \circ f_n$$

la composition de ces fonctions. Démontrez par récurrence que

$$(\bigcirc_{i=1}^n [f_i])^\prime = \prod_{i = 1}^n [f_i^\prime \circ (\bigcirc_{j=i+1}^{n} [f_j])]$$