1.3.2 Définition

suivant : Exercice 10 - De remonter : 1.3 Probabilités conditionnelles précédent : 1.3.1 Exemple

1.3.2 Définition

Formalisons le raisonnement précédent :

Définition 1.3.1 On note la probabilité que l'événement soit réalisé sachant que est réalisé. La probabilité de l'événement sachant est définie par

$\begin{displaymath}p(A/B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} \end{displaymath}$

On dit que est une probabilité conditionnelle.

La première phase à accomplir dans un exercice de probabilités est l'expression de l'énoncé avec des notations mathématiques : soit l'événement "l'élève choisi est développeur", l'événement "l'élève choisi suit maths option". Comme il y a développeurs sur étudiants, alors $\displaystyle p(D) = \frac{1}{3} = \frac{15}{45}$ . Comme parmi les élèves suivant maths option, sont développeurs, alors $\displaystyle p(D/M) = \frac{5}{13}$ et $\displaystyle p(\bar{D}/M) = \frac{8}{13}$ . La probabilité qu'un développeur choisi au hasard suive maths option est et la probabilité qu'un élève choisi parmi ceux qui ne suivent pas maths option soit en réseau est $p(\bar{D}/\bar{M})$ . La deuxième phase est l'utilisation des formules pour effectuer les calculs : $\displaystyle p(M/D) = \frac{p(M \cap D)}{p(D)} = \frac{p(D/M)p(M)}{p(D)} = \frac{5}{13}\times \frac{13}{45}\times \frac{3}{1} = \frac{1}{3}$ . Comme il y a réseaux qui ne suivent pas maths option sur les élèves, alors $p(\bar{D} \cap \bar{M}) = \frac{22}{45}$ . Comme il y a élèves ne suivant pas maths option, alors $p(\bar M) = \frac{32}{45}$ , donc $\displaystyle p(\bar{D}/\bar{M}) = \frac{p(\bar{D} \cap \bar{M})}{p(\bar{M})} = \frac{22\times 45}{32 \times 45} = \frac{11}{16}$ .