remonter : 10.6 Test de comparaison précédent : 10.6.1 Comparaison de deux

10.6.2 Comparaison de deux moyennes observées

Soient $m_A$ et $m_B$ deux moyennes observées sur deux échantillons de tailles respectives $n_A>30$ et $n_B>30$, et $\sigma_A$, $\sigma_B$ les écart-types estimés (ou connus) des populations dans lesquelles ont été prélevés les échantillons. On se demande si la différence entre $m_A$ et $m_B$ est significative. On pose les hypothèses suivantes :

• $H_0 : m_A = m_B$
• $H_1 : m_A \not = m_B$

Soit $X_A$ (resp. $X_B$) : la variable aléatoire : ``Valeur moyenne du critère $c$ sur les individus d'un échantillon d'effectif $n_A$ (resp. $n_B$) prelévés dans une population", la moyenne estimée dans cette population est $m_A$ (resp. $m_B$). Alors

$$X_A\ suit\ \mathcal{N}\left(m_A, \frac{\sigma_A}{\sqrt{n_A}}\right)$$

et

$$X_B\ suit\ \mathcal{N}\left(m_B, \frac{\sigma_B}{\sqrt{n_B}}\right)$$

De ce fait,

$$X_A - X_B\ suit\ \mathcal{N}\left(m_A - m_B, \sqrt{\frac{\sigma_A^2}{n_A} + \frac{\sigma_B^2}{n_B}}\right)$$

Supposons, l'hypothèse nulle vérifiée, alors

$$X_A - X_B\ suit\ \mathcal{N}\left(0, \sqrt{\frac{\sigma_A^2}{n_A} + \frac{\sigma_B^2}{n_B}}\right)$$

On applique, étant donné un risque d'erreur de première espèce $\alpha$, la règle de décision suivante :

• Si
  
  $$\vert m_A - m_B \vert < a\sqrt{\frac{\sigma_A^2}{n_A} + \frac{\sigma_B^2}{n_B}}$$
  
  
  où $a$ est telle que $P(-a < T < a) = 1 - \alpha$, avec T suivant une loi normale centrée réduite, alors on accepte $H_0$.
• sinon, on accepte $H_1$.

remonter : 10.6 Test de comparaison précédent : 10.6.1 Comparaison de deux