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10.6.1 Comparaison de deux proportions observées

Soit deux groupes de patients $A$ et $B$ sur lesquels ont été appliqués deux traitements distincts. On note $n_A>30$ l'effectif du groupe $A$ et $n_B>30$ l'effectif du groupe $B$. On note $f_A$ la proportion d'individus du groupe $A$ sur lequel le traitement est efficace, $f_B$ la proportion d'individus du groupe $B$ sur lequel le traitement est efficace. La question que nous nous posons est ``la différence de fréquence entre les deux groupes est-elle significative ?". La question peut se reformuler : "Peut-on considérer que, après les traitements, les individus des groupes $A$ et $B$ proviennent de la même population''. On pose les hypothèses suivantes :

• $H_0 : f_A = f_B$
• $H_1 : f_A \not = f_B$

Soit $C$ le caractère : ``le traitement a été efficace". Soit $X_A$ (resp. $X_B$) : la variable aléatoire : ``proportion des individus présentant le caractère $c$ parmi un échantillon de $n_A$ (resp. $n_B$)individus prelévés dans la population", la fréquence estimée de personnes présentant ce caractère dans cette population est $f_A$ (resp. $f_B$). Alors

$$X_A\ suit\ \mathcal{N}\left(f_A, \sqrt{\frac{f_A(1-f_A)}{n_A}}\right)$$

et

$$X_B\ suit\ \mathcal{N}\left(f_B, \sqrt{\frac{f_B(1-f_B)}{n_B}}\right)$$

De ce fait,

$$X_A - X_B\ suit\ \mathcal{N}\left(f_A - f_B, \sqrt{\frac{f_A(1-f_A)}{n_A} + \frac{f_B(1-f_B)}{n_B}}\right)$$

Supposons, l'hypothèse nulle vérifiée, alors

$$X_A - X_B\ suit\ \mathcal{N}\left(0, \sqrt{\frac{f_A(1-f_A)}{n_A} + \frac{f_B(1-f_B)}{n_B}}\right)$$

On applique, étant donné un risque d'erreur de première espèce $\alpha$, la règle de décision suivante :

• Si
  
  $$\vert f_A - f_B \vert < a\sqrt{\frac{f_A(1 - f_A)}{n_A} + \frac{f_B(1 - f_B)}{n_B}}$$
  
  
  où $a$ est telle que $P(-a < T < a) = 1 - \alpha$, avec T suivant une loi normale centrée réduite, alors on accepte $H_0$.
• sinon, on accepte $H_1$.

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