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10.5.1 Comparaison d'une moyenne observée et une moyenne théorique

Le responsable de production d'une usine de plaques d'égoût souhaite vérifier, pour des raisons techniques, que les diamètres des plaques fabriquées n'excèdent pas 80 centimètres. Nous prélevons pour ce faire un échantillon de $n = 50$ plaques dans la production, et nous calculons leur diamètre moyen $\mu$. Nous adopterons comme hypothèse nulle $H_0 : \mu = 80$, et comme hypothèse alternative $H_1 : \mu > 80$. Le test est dit unilatéral (par opposition à bilatéral) car on n'accepte $H_1$ que si $\mu$ s'écarte de la moyenne théorique en prenant des valeurs supérieures. Notez bien que l'hypohèse nulle n'est pas $\mu \leq 80$ ! Fixons comme risque d'erreur $\alpha = 0.05$. Alors nous adoptons la règle de décision suivante :

• Si
  
  $$\mu \leq 80 + a\frac{\sigma}{\sqrt{50}}$$
  
  
  où $a$ vérifie $P(T < a) = 1 - \alpha$ où $T$ suit une loi normale centrée réduite, alors on accepte $H_0$
• sinon, on accepte $H_1$.

Récapitulons, soit $M$ une moyenne théorique d'une variable $X$ correspondant à un critère dans une population. Nous prélevons $n$ éléments dans une population (on ne sait pas s'il s'agit de la même), et la question que l'on se pose est : la valeur moyenne de ce critère dans la population dans laquelle à été prélevé l'échantillon est-elle plus basse (ou plus haute, sans perte de généralité) que $M$ ? Soit $X$ la variable aléatoire : ``moyenne des valeurs du critère sur un échantillon de taille $n > 30$ prélevé dans la population". Alors $X$ suit une loi normale de paramètres $$\left(M, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$. Soit $\mu$ la moyenne observée, on traduit alors la question par l'hypothèse alternative $H_1 : \mu < M$. On prend comme hypotyhèse nulle $H_0 : \mu = M$. Alors la règle de décision du test de validité d'hypothèse au seuil de risque $\alpha$ que l'on adopte est :

• Si
  
  $$\mu \geq M + a\frac{\sigma}{\sqrt{50}}$$
  
  
  où $a$ vérifie $P(a < T) = 1 - \alpha$ où $T$ suit une loi normale centrée réduite, alors on accepte $H_0$
• sinon, on accepte $H_1$.

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