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7.2.1 La loi faible des grands nombres

Par exemple, étudions la variable qualitative $P$ (résultat du lancer d'une pièce) prenant la valeur $0$ si la pièce tombre sur face, $1$ si la pièce tombe sur pile. Il va de soi que $P$ suit $\mathcal{B}(\frac{1}{2}, 1)$. Nous décidons de lancer $n$ fois la pièce, nous considérerons $P_i$ le résultat du $i$-ème lancer ($1$ pour pile, $0$ pour face). Posons $S_n = \displaystyle \sum_{i=1}^nP_i$, $S_n$ suit $\mathcal{B}(\frac{1}{2}, n)$, d'où $E(S_n) = \frac{1}{2}n$, $V(S_n) = \frac{1}{4}n$. Posons $Y_n$ la proportion de pile observé ans l'échantillon, à savoir $Y_n = \frac{1}{n}S_n$. On a

$$\begin{eqnarray*} E(Y_n) & = & E(\frac{1}{n}S_n) \\ & =& \frac{1}{n}E(S_n) \\ ... ... \\ & = & \frac{1}{n^2}\frac{1}{4}n \\ & = & \frac{1}{4n}\\ \end{eqnarray*}$$

Vous remarquez la proportion théorique $E(Y_n) = 0.5$, et surtout le fait que plus $n$ prendra des valeurs élevées, plus la variance diminuera. La loi faible des grands nombres peut s'énoncer de la sorte, $Y_n$ tend vers la proportion théorique quand $n$ tend vers l'infini. Cela signifie aussi qu'en prenant des valeurs de $n$ suffisament grandes, $Y_n$ a presque la valeur de la proportion théorique.