suivant : 6.1.3 Espérance mathématique et remonter : 6.1 Loi binomiale précédent : 6.1.1 Définition

6.1.2 Exemple

Gégé lance $10$ fléchettes sur une cible et atteint la cible $2$ fois sur $3$, soit $X$ = "nombre de lancers réussis".

• Pour chaque lancer il y a deux issues possibles : succès si la flèche atteint la cible et échec sinon.
• La probabilité qu'un lancer soit réussi ne dépend pas des lancers précédents, les lancers sont donc indépendants $2$ à $2$.

Les deux conditions sont vérifiées, donc $X$ suit $\mathcal{B}(10, \frac{2}{3})$. La loi de probabilité de $X$ est donc donnée par

$$p(X = k) = \mathcal{C}_{10}^k \left(\frac{2}{3}\right)^k \left(\frac{1}{3}\right)^{10 - k}$$

La probabilité que Gégé réussisse exactement deux lancers est donc

$$p(X = 2) = \mathcal{C}_{10}^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^{10 - 2}$$

On a $$\mathcal{C}_{10}^2 \frac{10!}{2!8!} = \frac{10.9}{2} = 45$$, par ailleurs $$\frac{2}{3}^2 = \frac{4}{9}$$ et $$\frac{1}{3}^{8} = \frac{1}{6561}$$. D'où $$p(X = 2) = 45.\frac{4}{9}.\frac{1}{6561} = \frac{20}{6561}$$.