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1.9.1 Définitions

Nous nous intéressons au comportement de la courbe d'une fonction lorsque $x$ est proche des bornes de son domaine de définition. Par exemple, la fonction $f(x) = 1/x$ decroit vers $0$ quand $x$ croît, et augmente indéfiniment quand $x$ s'approche de $0$ tout en restant positif.

algebraic=true (-4, -4)(4, 4) ->(0,0)(-4,-4)(4,4) -4-0.25 1/x 0.254 1/x

On dit que $1/x$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et que $1/x$ tend vers $+ \infty$ quand $x$ tend vers $0$. Cela se note

$$\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{1}{x} = 0$$

$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} = + \infty$$

On note $x \rightarrow 0^+$ quand $x$ tend vers $0$ en étant supérieur à $0$, $x \rightarrow 0^-$ quand $x$ tend vers $0$ en étant inférieur à $0$. Le domaine de définition de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ a quatre bornes : $- \infty$, $0^-$, $0^+$ et $+ \infty$. Les limites suivantes sont à connaître :

$$\lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{1}{x} = 0$$

$$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x} = - \infty$$

$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} = + \infty$$

$$\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{1}{x} = 0$$

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