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1.8.5 Factorisation des polynômes de degré trois

On factorise $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ en le mettant sous la forme $p(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Par exemple, la forme factorisée de $p(x) = x^3 - x$ est $p(x) = x(x - 1)(x + 1)$. De façon analogue à ce que l'on observe sur les polynômes de degré deux, on constate que $x_1$, $x_2$ et $x_3$ sont les racines de $p$. On factorise donc un polynôme de degré trois en déterminant ses racines.

Une propriété va toutefois nous être fort utile : si l'on multiplie deux polynômes $p$ et $q$ de degrés respectifs $1$ et $2$, quel est le degré du polynôme $p \times q$ ? Faisons un essai, soit $p(x) = x^2 - x$ et $q(x) = x + 1$. Alors $p(x) \times q(x) = x^3 - x$ est un polynôme de degré $3$. On admettra donc que le produit d'un polynôme de degré un et d'un polynôme de degré deux est un polynôme de degré trois.

La première étape dans la factorisation d'un polynôme $p$ de degré trois est la décomposition de $p$ en produit d'un polynôme de degré $1$ et d'un polynôme de degré $2$. Par exemple, si l'on souhaite factoriser $p(x) = x^3 - x$, la première chose à faire est le mettre sous la forme $p(x) = (x^2 - x)(x + 1)$, il vous sera expliqué ultérieurement comment réaliser cette étape. Une fois cela fait, on peut terminer la factorisation de $x^3 - x$ en factorisant $(x^2 - x)$ avec la méthode du discriminant (ou une autre méthode), on obtient $(x^2 - x) = x(x - 1)$, et en remplaçant $(x^2 - x)$ par $x(x - 1)$ dans $(x^2 - x)(x + 1)$, on obtient $(x - 0)(x - 1)(x + 1)$, qui est une forme factorisée de $p(x) = x^3 - x$.

Il nous reste à voir de quelle façon on décompose un polynôme de degré $3$ en produit d'un polynôme de degré $1$ et d'un polynôme de degré $2$, c'est-à-dire comment on passe de $p(x) = x^3 - x$ à $p(x) = (x^2 - x)(x + 1)$. Tout d'abord, on remarque dans l'exemple précédent que comme $x^3 - x = (x^2 - x)(x + 1)$, alors $x^3 - x = 0$ si $x^2 - x = 0$ ou $x + 1 = 0$. Donc les racines de $p(x) = x^3 - x$ sont $0$, $-1$ et $1$.

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