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1.8.4 Signe d'un polynôme de degré deux

Une fois le polynôme $p$ factorisé, on détermine son signe de la façon suivante :

• Si $a$ est positif, alors $p$ est positif à l'extérieur des racines. Autrement dit, $p(x) < 0$ si $x \in ]x_1, x_2[$, et $p(x) \geq 0$ sinon.
• Si $a$ est négatif, alors $p$ est négatif à l'extérieur des racines. Autrement dit, $p(x) \geq 0$ si $x \in [x_1, x_2]$, et $p(x) < 0$ sinon.

On résume de façon davantage concise : $p$ est du signe de $a$ à l'extérieur de ses racines. Par exemple, $p(x) = 2x^2 - 6x + 4$ est du signe de $a$, donc positif, à l'extérieur de ses racines, c'est-à-dire sur $] - \infty, 1[ \cup ] 2, +\infty[$, et strictement négatif sur $]1, 2[$.

Dans le cas où $\Delta = 0$, alors le polynôme a une seule racine $r$, il est alors nul en $r$ et du signe de $a$ partout ailleurs. Dans le cas où $\Delta < 0$, alors le polynôme est du signe de $a$ sur $\mbox{I\hspace{-.15em}R}$. Considérons par exemple $p(x) = x^2 + 1$, on a $\Delta = b^2 - 4ac = -4 < 0$, donc $p$ n'a pas de racine dans $\mbox{I\hspace{-.15em}R}$ et est du signe de $a$, donc positif, sur $\mbox{I\hspace{-.15em}R}$.

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