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1.4.3.3 Pratique de la factorisation

La factorisation est un exercice difficile, il existe mêmes des cas dans lesquels c'est impossible (i.e. aucune méthode n'existe). Les cas sur lesquels vous serez interrogé seront faisables, même si les profs de maths aiment bien y placer des pièges pour rendre la factorisation coriace !

Vous connaissez, depuis des temps reculés, la relation suivante :

$$ab + ac = a(b + c)$$

Il s'agit de la distributivité de la multiplication sur l'addition. C'est le pricinpe que l'on utilisera pour factoriser. On dira que $a(b + c)$ est la forme factorisée, et $ab + ac$ la forme développée. Factoriser revient à réecrire une expression sous forme factorisée. Il est possible de substituer à $a$, $b$ et $c$ n'importe quelle expression, par exemple, posons $a = x + 1$, $b = 2x - 3$ et $c = 3 - x$, alors on a l'égalité

$$(x+1)(2x - 3) + (x+1)(3-x) = (x+1)[(2x - 3) + (3 - x)]$$

Bien que l'expression factorisée semble complexe, du fait du parenthèsage, on obtient en la simplifiant un produit de facteurs du premier degré :

$$(x+1)[(2x - 3) + (3 - x)] = (x+1)[2x - x - 3 + 3] = (x+1)[x] = (x+1)x$$

L'expression $a = (x+1)$ s'appelle le facteur commun, la plus grande difficulté dans une factorisation est de trouver le facteur commun.

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