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1.23.1.2 Trapèzes

Figure 1.2: Méthode des trapèzes

La méthode des trapèzes est une amélioration de la méthode des rectangles. Pour chaque subdivision $$\left[a + i\frac{b - a}{n}, a + (i+1)\frac{b - a}{n}\right]$$, on approche l'aire située sous la courbe par un trapèze dont les sommets ont les coordonnées suivantes :

• $$\left(a + i\frac{b - a}{n}, 0\right)$$
• $$\left(a + (i+1)\frac{b - a}{n}, 0\right)$$
• $$\left(a + i\frac{b - a}{n}, f\left(a + i\frac{b - a}{n}\right)\right)$$
• $$\left(a + (i+1)\frac{b - a}{n}, f\left(a + (i+1)\frac{b - a}{n}\right)\right)$$

Vous remarquez que seul le point en haut à droite diffère de la méthode précédente. On calcule la surface d'un trapèze avec la formule suivante :

$$\frac{h}{2}(b + B)$$

Où $h$ est la hauteur du trapèze, $b$ la longueur de la petite base et $B$ la longueur de la grande base. La hauteur du $i$-ème trapèze est donnée par $$\frac{b - a}{n}$$, les deux bases ont pour longueurs $$f\left(a + i\frac{b - a}{n}\right)$$ et $$f\left(a + (i+1)\frac{b - a}{n}\right)$$. La surface du $i$-ème trapèze est donc donnée par

$$\left(\frac{b - a}{2n}\right)\left[f\left(a + i\frac{b - a}{n}\right) + f\left(a + (i+1)\frac{b - a}{n}\right)\right]$$

On approche $$\int_a^bf(x)dx$$ en additionnant les aires des trapèzes :

$$\sum_{i = 0}^{n-1} \left(\frac{b - a}{2n}\right)\left[f\lef... ... a}{n}\right) + f\left(a + (i+1)\frac{b - a}{n}\right)\right]$$

Plaçons $$\frac{b - a}{2n}$$ en facteur,

$$\frac{b - a}{2n}\sum_{i = 0}^n \left[f\left(a + i\frac{b - a}{n}\right) + f\left(a + (i+1)\frac{b - a}{n}\right)\right]$$

On remarque que

$$\sum_{i = 0}^{n-1} \left[f\left(a + i\frac{b - a}{n}\righ... ...) + \sum_{i = 0}^{n-1} f\left(a + (i+1)\frac{b - a}{n}\right)$$

En réindiçant la deuxième somme, on a

$$\sum_{i = 0}^{n-1} f\left(a + i\frac{b - a}{n}\right) + \sum_{i = 1}^n f\left(a + i\frac{b - a}{n}\right)$$

En sortant le premier terme de la première somme et le dernier terme de la deuxième somme, on a

$$f(a) + \sum_{i = 1}^{n-1} f\left(a + i\frac{b - a}{n}\r... ...\sum_{i = 1}^{n-1} f\left(a + i\frac{b - a}{n}\right) + f(b)$$

On remarque que les deux sommes sont les mêmes, on a donc

$$f(a) + f(b) + 2\sum_{i = 1}^{n-1} f\left(a + i\frac{b - a}{n}\right)$$

On approche donc $$\int_a^bf(x)dx$$ avec

$$\frac{b - a}{2n}\left[f(a) + f(b) + 2\sum_{i = 1}^{n-1} f\left(a + i\frac{b - a}{n}\right)\right]$$

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