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1.23.1.1 Rectangles

Figure 1.1: Méthode des rectangles

La première méthode consiste à subdiviser l'aire que l'on souhaite calculer en rectangles. Soit $$\int_a^bf(x)dx$$ l'intégrale dont on cherche à approcher la valeur. On subdivise l'intervalle $[a, b]$ en $n$ intervalles d'amplitude $$\frac{b - a}{n}$$. Nous obtenons ainsi les $n$ intervalles :

$$\left[a, a + \frac{b - a}{n}\right], \left[a + \frac{b - a}... ... \left[a + (n-1)\frac{b - a}{n}, a + n\frac{b - a}{n}\right]$$

On remarque que $b$ est la borne supérieure du dernier intervalle. Le $i$-ème intervalle est la base d'un rectangle dont les quatre sommets ont pour coordonnées

• $$\left(a + i\frac{b - a}{n}, 0\right)$$
• $$\left(a + (i+1)\frac{b - a}{n}, 0\right)$$
• $$\left(a + i\frac{b - a}{n}, f\left(a + i\frac{b - a}{n}\right)\right)$$
• $$\left(a + (i+1)\frac{b - a}{n}, f\left(a + i\frac{b - a}{n}\right)\right)$$

La surface d'un tel rectangle est donnée par

$$\frac{b - a}{n}f\left(a + i\frac{b - a}{n}\right)$$

On approche $$\int_a^bf(x)dx$$ en additionnant les aires des rectangles :

$$\sum_{i = 0}^{n-1} \frac{b - a}{n}f\left(a + i\frac{b - a}{... ... - a}{n}\sum_{i = 0}^{n-1}f\left(a + i\frac{b - a}{n}\right)$$