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1.2.1 Définitions et notations

Définition 1.2.1   Un ensemble est un regroupement en un tout d'objets. Etant donné un ensemble $E$, les objets regroupés dans $E$ sont appelés les éléments de $E$.

Les éléments d'un ensemble peuvent être tout type d'objet mathématique : des nombres, des points, des droites, des ensembles, des ensembles d'ensembles, des fonctions... Les ensembles de nombres suivants sont très souvent utilisés :

• $\emptyset$ est l'ensemble vide, il ne ontient aucun élément.
• $N$ est l'ensemble des entiers naturels : $0$, $1$, $2$, $\ldots$
• $Z$ est l'ensemble des entiers relatifs : $\ldots$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $\ldots$
• $Q$ est l'ensemble des rationnels, c'est-à-dire tous les nombres pouvant s'exprimer avec une fraction de deux entiers : $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{-4}{2}$, $\frac{4}{1}$, $\ldots$ N'oubliez pas qu'il est impossible de diviser par $0$ (si vous ne me croyez pas, prenez une tarte d'un kilo, divisez-là en zéro parts et donnez moi le poids d'une part...), le dénominateur est donc toujours différent de $0$.
• $R$ est l'ensemble des réels. La construction des réels est complexe et hors-programme. Une définition simplifiée sera esquissée dans le chapitre suivant.

Il est possible de définir un ensemble en énumérant ses éléments, on sépare dans ce cas les éléments par des virgules et on écrit le tout entre accolades, par exemple $\{1, 2, 3, 5, 6\}$ est l'ensemble formé par les nombres $1$, $2$, $3$, $5$ et $6$. L'ordre d'énumération des éléments de l'ensemble n'a pas d'importance, $\{1, 2\}$ et $\{2, 1\}$ sont deux façons différentes d'écrire le même ensemble. On évite d'écrire deux fois le même élément, par exemple $\{1, 2, 2\}$ est le même ensemble que $\{1, 2\}$, il est donc inutile d'écrire deux fois $2$.

Définition 1.2.2   Pour tout élément $e$ de $E$, on dira que $e$ appartient à $E$, ce qui se note $e \in E$. Si un objet mathématique $f$ n'appartient pas à $E$, on notera $f \not \in E$.

Par exemple, comme $5$ est un élément de $\{1, 2 ,3, 4, 5\}$, alors il est vrai que $5 \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Par contre, comme $5$ n'est pas un élément de $\{1, 2, 3\}$, alors on a $5 \not \in \{1, 2, 3\}$.

Il est aussi possible de définir un ensemble par une condition. Par exemple, $(x \in N) \wedge (x < 6)$, est une condition spécifiant les éléments $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, c'est-à-dire tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à $6$. Cet ensemble se note aussi $\{x \vert (x \in N) \wedge (x < 6)\}$.

• $\{ \ldots \}$ se lit ensemble des $\ldots$
• $x \vert$ se lit $x$ tels que

Ce qui nous donne ''ensemble des $x$ tels que $(x \in N) \wedge (x < 6)$''. En traduisant la condition en français, on a ''ensemble des $x$ tels que $x$ est un entier naturel et $x$ est strictement inférieur à $6$'', ce qui, en reformulant, donne ''ensemble des entiers naturels strictement inférieurs à $6$''.

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