suivant : 1.17.4 Tirages simultanés remonter : 1.17.3 Tirages successifs sans précédent : 1.17.3.2 Résolution

1.17.3.3 Généralisation

S'il y a $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ dans cette urne et que l'on tire successivement les $n$ boules sans remise, nous voulons savoir combien de $n$-uplets il est possible de former avec $n$ nombres sélectionnés parmi $n$ sans que le même nombre apparaîsse deux fois. Il y a au premier tirage $n$ possibilités. Comme on ne peut pas sélectionner la même valeur une deuxième fois, il y a au deuxième tirage $n-1$ possibilités. Au dernier tirage, il n'y a plus qu'$1$ possibilité. Le nombre de possibilités est donc $n \times (n - 1) \times \ldots \times 1 = n!$ (factorielle $n$). Cela revient à calculer le cardinal de l'ensemble

$$E = \{(x_1, \ldots, x_n) \vert \forall i \in \{1, \ldots, n\}... ...\{1, \ldots, n\}, (i \not = j) \Longrightarrow w_i \not = x_j\}$$

$E$ est l'ensemble des $n$-uplets d'éléments distinct pris dans $\{1, \ldots, n\}$. On note $n!$ le cardinal de $E$. On remarque que $$\mathcal{A}_n^k = \frac{n!}{(n-k!)}$$ et que $$\mathcal{A}_n^n = n!$$. Ce cas est donc un cas particulier du précédent. On reformuler ce résultat en concluant que le nombre de façon d'ordonner $n$ éléments est $n!$.