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1.16.4 Convergence

Définition 1.16.5   Soit $(u)$ une suite numérique de premier terme $u_0$,

• s'il existe $m$ tel que tout $n \geq 0$, $u_n > m$, alors $(u)$ est minorée.
• s'il existe $M$ tel que tout $n \geq 0$, $u_n < M$, alors $(u)$ est majorée.
• $(u)$ est bornée si elle est minorée et majorée.

Définition 1.16.6   Une suite $(u)$ est convergente s'il existe $l$ fini tel que

$$\lim_{n \longrightarrow + \infty}u_n = l$$

On dit alors que $(u)$ converge, ou plus précisément qu'elle converge vers $l$. Une suite non convergente est divergente, on dit plus généralement qu'elle diverge.

Théorème 1.16.1   Toute suite minorée et décroissante est convergente. Toute suite majorée et croissante est convergente. Toute suite monotone et bornée est couvergente.

Théorème 1.16.2   Soit $(u)$ une suite numérique de premier terme $u_0$, s'il existe une fonction $f$ continue telle que pour tout $n \geq 0$, $u_n = f(n)$, et que

$$\lim_{x \longrightarrow + \infty} f(x)= l$$

où $l$ est fini, alors $(u)$ converge vers $l$.

Théorème 1.16.3 (encadrement)   Soit $(u)$ une suite numérique de premier terme $u_0$, s'il existe deux suites $(v)$ et $(w)$, convergeant toutes deux vers $l$ (non nécessairement fini), et telles que pour tout $n \geq 0$,

$$v_n \leq u_n \leq w_n$$

alors $(u)$ converge vers $l$.

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