La moulinette à méninges

Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis de cardinaux respectifs $m$ et $n$.

1. Combien existe-t-il de relations entre $A$ et $B$ ? (Bijection avec les parties de l'ensemble $A \times B$)
2. Combien existe-t-il d'applications de $A$ dans $B$ ? (Raisonnez par récurrence)
3. Combien existe-t-il d'applications bijectives de $A$ dans $B$ ? (une bijection)
4. Combien existe-t-il de $k$-uplets d'éléments de $A$ ? (démerdez-vous)
5. Combien existe-t-il de $k$-uplets d'éléments distincts de $A$ ?
6. Combien existe-t-il d'applications injectives de $A$ dans $B$ ? (raisonnez par récurrence)
7. Combien existe-t-il de façon de partitionner un ensemble $E$ de cardinal $n$ en $3$ sous-ensembles ? C'est-à-dire de déterminer $3$ ensembles $A$, $B$ et $C$ tels que $A \cup B \cup C = E$, $A \cap B = \emptyset$, $A \cap C = \emptyset$ et $B \cap C = \emptyset$. (bijection)
8. Une application est croissante au sens large si $\forall x, y \in A, x < y \Longrightarrow f(x) \leq f(y)$. Combien existe-t-il d'applications croissantes au sens large de $A$ dans $B$ (supposés ordonnés) ? (une bijection)
9. Une application est croissante au sens strict si $\forall x, y \in A, x < y \Longrightarrow f(x) < f(y)$. Combien existe-t-il d'applications croissantes au sens large de $A$ dans $B$ ? (plus difficile, bijection...)
10. Combien existe-t-il de façon de partitionner un ensemble $E$ de cardinal $n > 3$ en $3$ sous-ensembles non-vides ? (bijections $+$ poincaré)
11. Soit $f : A \longrightarrow A$, un point fixe de $f$ est un élément $x$ de $A$ tel que $f(x) = x$. Combien existe-t-il de bijection sans point fixe ? (vraiment difficile, utilisez la formule de Poincaré puis le binôme de Newton)