Formule de Poincaré

Le but de cet exercice est de prouver la formule de Poincaré :

$$\vert\bigcup_{i=1}^n E_i\vert = \sum_{i = 1}^n (-1)^{i + 1}\sum_{e \in I_i^n} (\bigcap_{i \in e} \vert E_i \vert)$$

En notant $I_k^n$ l'ensemble des sous-ensembles de $\{1, \ldots, n\}$ à $k$ éléments, formellement : $I_k^n = \{e \subset \{1, \ldots, n\}\ tel\ que\ \vert e\vert = k\}$

1. Réecrivez la formule de Poincaré avec $n = 1$
2. Réecrivez la formule de Poincaré avec $n=2$
3. Soient $A = \{1, 3, 5, 6\}$ et $B = \{1, 2, 3, 4\}$. Calculez $\vert A \cup B\vert$ en utilisant la propriété $\vert A \cup B\vert = \vert A\vert + \vert B\vert - \vert A \cap B\vert$.
4. Réecrivez la formule de Poincaré avec $n=3$
5. Soit $C = \{6, 7, 8\}$, utilisez la formule de Poincaré pour calculer $\vert A \cup B \cup C\vert$.
6. On considère $n+1$ ensembles $\{E_1, \ldots E_{n+1}\}$. Supposons la formule de Poincaré vérifiée vérifiée au rang $n$. Donnez alors une relation entre

   
   

   $$\vert\bigcup_{i=1}^{n+1} E_i\vert$$
   
   

   et

   
   

   $$\sum_{i = 1}^n (-1)^{i + 1}\sum_{e \in I_i^n} (\bigcap_{i \in e} \vert E_i \vert)$$
   
   

7. Utilisez les résultats des questions précédentes pour prouver par récurrence la formule de Poincaré.