Définition

Définition B.2.11   Une relation $f$ entre deux ensembles $A$ et $B$ est un sous-ensemble de $A \times B$.

Etant donné deux éléments $x \in A$ et $y \in B$, si $(x, y) \in f$, alors on dit que $f$ associe $y$ à $x$. L'ensemble des éléments qui sont associés à $x$ est $\{y \vert (x,y) \in f\}$.

Définition B.2.12   Une relation $f$ entre deux ensembles $A$ et $B$ est une application si $\forall a \in A, \vert\{b \vert (a, b) \in f\}\vert = 1$

Plus explicitement, $f$ est une application si à tout élément de $A$ est associé exactement un élément de $B$. On dit alors que $f$ est une application de $A$ dans $B$, ce qui se note $f : A \longrightarrow B$. On dit par abus de langage que $A$ est l'ensemble de départ et $B$ l'ensemble d'arrivée. Pour tout $a \in A$, on note $f(a)$ l'élément de $B$ qui lui est associé. On dit que $f(a)$ est l'image de $a$ par $f$ et $a$ un antécédent de $f(a)$ par $f$.

Etant donné un ensemble $E$, il existe une application, appelée identité, et notée $id$, telle que tout élément à pour image lui-même. Autrement dit : $id : E \longrightarrow E, x \mapsto x$. La succession de symboles $a \mapsto b$ signifie que $b$ est l'image de $a$, donc $x \mapsto x$ signifie que $x$ a pour image lui-même.