Opposé d'un élément de $Z/nZ$

Définition 15.2.2   Soit $k\in Z/nZ$. L'opposé de $k$ est le nombre qu'il faut additionner à $k$ pour obtenir $0$. On le note $-k$.

Si l'on prend comme exemple $k = 3$ dans $Z/8Z$, l'opposé de $k$ est $5$. En effet $3 + 5 = 0$ dans $Z/8Z$. On peut utiliser aussi la notation $-k = -3$, mais il faut être conscient du fait que $-3 \not \in \{0, \ldots, 7\}$.

Propriété 15.2.1   Soit $n>0$ et $k \in \{1, \ldots, n-1\}$. L'opposé de $k$ dans $Z/nZ$ est $k^\prime = n - k$.

En effet, si $0 \leq k \leq n-1$, alors $0 \geq -k \geq 1 - n \iff n \geq n-k \geq 1$. Donc $n - k \in \{0, \ldots, n - 1\}$. Par ailleurs $k+ k^\prime \equiv k + n - k \equiv n \equiv 0 \pmod n$. Donc $k^\prime = n - k$ est bien l'opposé de $k$ dans $Z/nZ$.Il reste le cas particulier du $0$ qui est fort simple du fait qu'il est toujours son propre opposé.

La soustraction dans $Z/nZ$ est très facile à manier dans les calculs. L'inverse de $k$ dans $Z/nZ$ s'obtient en calculant $-k\ mod\ n$. L'utilisation des congruences permet de simplifier les calculs, on peut en effet remplacer n'importe quel nombre $x$ par un nombre qui lui est congru modulo $n$.