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4.5 Triangle de Pascal

Propriété 4.5.1   Si $1 \leq p < n$, alors $$\mathcal{C}_n^p = \mathcal{C}_{n-1}^{p-1} + \mathcal{C}_{n-1}^{p}$$

Cette propriété permet de calculer les valeurs des $$\mathcal{C}_n^p$$ en les disposant dans un tableau appelé Triangle de Pascal.

Le triangle de Pascal est un tableau triangulaire de taille infinie dont les lignes sont indicées par $n$ et les colonnes par $p$, les indices commençant à $0$. Les seules case du triangle renseignées sont celles dont les indices vérifient $0 \leq p \leq n$. Les valeurs se trouvant à la ligne d'indice $n$ et la colonne d'indice $p$ du triangle de Pascal est $\mathcal{C}_n^p$, on a ainsi

$(n, p)$		$p =$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\ldots$
$n =$	$0$		$1$
	$1$		$1$	$1$
	$2$		$1$	$2$	$1$
	$3$		$1$	$3$	$3$	$1$
	$4$		$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
	$5$		$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$
	$6$		$1$	$6$	$15$	$20$	$15$	$6$	$1$
	$\ldots$		$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$

Vous remarquez que la propriété $$\mathcal{C}_n^0 = 1$$ traduit le fait que la première colonne ne comporte que des $1$. Comme de même $$\mathcal{C}_n^n = 1$$, tous les éléments de la diagonale sont des $1$. La propriété $$\mathcal{C}_n^p = \mathcal{C}_{n-1}^{p-1} + \mathcal{C}_{n-1}^{p}$$ traduit le fait que chaque élément $$\mathcal{C}_n^p$$ ne se trouvant pas dans la première colonne ou sur la diagonale est la somme de celui qui est au dessus ( $$\mathcal{C}_{n - 1}^p$$) et de celui qui est juste à gauche de ce dernier ( $$\mathcal{C}_{n - 1}^{p - 1}$$).

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