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4.3 Permutations

Soit $f : A \longrightarrow B$,

Définition 4.3.1   $f$ est surjective si

$$\forall b \in B, \exists a \in A, f(a) = b$$

$f$ est surjective si tout élément de l'ensemble d'arrivée a un antécedent.

Définition 4.3.2   $f$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective.

$f$ est bijective si tous les éléments de $A$ et de $B$ sont reliés deux à deux.

Propriété 4.3.1   Soient $A$ et $B$ deux ensembles et $f : A \longrightarrow B$,

• Si $f$ est injective, alors $\vert A\vert \leq \vert B\vert$
• Si $f$ est surjective, alors $\vert A\vert \geq \vert B\vert$
• Si $f$ est bijective, alors $\vert A\vert = \vert B\vert$

Cette propriété est très importante ! En dénombrement, lorsque le cardinal d'un ensemble est difficile à déterminer, on passe par une bijection vers un autre ensemble dont il est davantage aisé de calculer le cardinal.

Définition 4.3.3   Une permutation est une application bijective d'un ensemble dans lui-même.

Propriété 4.3.2   Le nombre de permutations d'un ensemble $A$ à $n$ éléments est $n !$.

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