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5.3 Variance, écart-type

Définition 5.3.1   Soit $X$ une variable aléatoire, alors la variance de $X$, notée $V(X)$, est définie comme suit :

$$V(X) = \sum_{i = 1}^n p(X = x_i)(x_i - E(X))^2$$

Dans l'exemple, on a

$$\begin{eqnarray*} V(X) & = & \displaystyle\sum_{i = 1}^n p(X = x_i)(x_i - E(X))... ...s 22 + 49 \times 2 3}{12}\\ & = & \displaystyle\frac{35}{12}\\ \end{eqnarray*}$$

Définition 5.3.2   Soit $X$ une variable aléatoire, alors l'écart-type de $X$, noté $\sigma(X)$, est défini comme suit :

$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$

Propriété 5.3.1   Soit $X$ une variable aléatoire alors

$$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$$

Pour simplifier la démonstration, nous noterons $p_i$ à la place de $p(X = x_i)$. Par définition, on a

$$V(X) = \sum_{i = 1}^n p_i(x_i - E(X))^2$$

D'une part on a pour tout $i$,

$$(x_i - E(X))^2 = x_i^2 - 2x_iE(X) + E(X)^2$$

Donc,

$$V(X) = \sum_{i = 1}^n p_i(x_i^2 - 2x_iE(X) + E(X)^2)$$

De plus,

$$p_i(x_i^2 - 2x_iE(X) + E(X)^2) = p_ix_i^2 - p_i2E(X)x_i + p_iE(X)^2$$

Donc,

$$V(X) = \sum_{i = 1}^n (p_ix_i^2 - p_i2E(X)x_i + p_iE(X)^2)$$

Décomposons la somme,

$$V(X) = \sum_{i = 1}^n p_ix_i^2 - \sum_{i = 1}^np_i2E(X)x_i + \sum_{i = 1}^np_iE(X)^2$$

Mettons $2E(X)$ en facteur dans $$\sum_{i = 1}^np_i2E(X)x_i$$,

$$V(X) = \sum_{i = 1}^n p_ix_i^2 - 2E(X)\sum_{i = 1}^np_ix_i + \sum_{i = 1}^np_iE(X)^2$$

Comme $$\sum_{i = 1}^n p_ix_i^2 = E(X^2)$$ et $$\sum_{i = 1}^np_ix_i = E(X)$$, alors

$$V(X) = E(X^2) - 2E(X)^2 + E(X)^2\sum_{i = 1}^np_i$$

Comme $$\sum_{i = 1}^np_i = 1$$, alors

$$V(X) = E(X^2) - 2E(X)^2 + E(X)^2$$

Ce qui se simplifie

$$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$$

Vérifions ce résultat sur l'exemple, $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ avec $E(X)^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$ et $$E(X^2) = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 i^2 = \frac{1}{6}(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6}$$, donc $$E(X^2) - E(X)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$$.

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