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1.7.5.1 Exemples

• $$f(x) = \frac{x^3 - x}{1 - x^2}$$ est définie sur $\{x \vert x \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}\ et\ 1 - x^2 \not = 0\} = \mbox{I\hspace{-.15em}R}\setminus \{-1, 1\}$ et est impaire. En effet,
  $$\begin{eqnarray*} f(-x) & = & \frac{(-x)^3 - (-x)}{1 - (-x)^2} \\ & = & \frac... ...x}{1 - x^2} \\ & = & -\frac{x^3 - x}{1 - x^2} \\ & = & -f(x) \end{eqnarray*}$$
  
  

• $f(x) = (x - x^3)^5 - (x + x^3)^3$ est définie sur $\mbox{I\hspace{-.15em}R}$, et est impaire. En effet,
  $$\begin{eqnarray*} f(-x) & = & ((-x) - (-x)^3)^5 - ((-x) + (-x)^3)^3 \\ & = & ... ... x^3)^3 \\ & = & -[(x - x^3)^5 - (x + x^3)^3] \\ & = & -f(x) \end{eqnarray*}$$
  
  

Connaissez-vous une fonction qui est à la fois paire et impaire ?