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Exercice 9 - Pour combattre le dogme

Rappelons que si $f$ est une fonction définie sur un ensemble $D_f$, alors la valeur de $f^{\prime}(x)$, si elle existe, est donnée par

$$\lim_{h \longrightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

1. Prouvez que
   
   $$(af + b)^{\prime} = af^{\prime}$$
   
   
   avec $f$ une fonction dérivable, $a$ et $b$ deux réels
2. Prouvez que
   
   $$(f + g)^{\prime} = f^{\prime} + g^{\prime}$$
   
   
   où $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables
3. Prouvez que
   
   $$(\frac{1}{u(x)})^{\prime} = \frac{u^{\prime}(x)}{u(x)^2}$$
   
   
   où $u$ est une fonction dérivable sur toutes les valeurs où elle ne s'annule pas
4. Prouvez que
   
   $$(fg)^{\prime} = f^{\prime}g(x) +fg^{\prime}(x)$$
   
   
   où $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables
5. Prouvez que
   
   $$(\frac{f}{g})^{\prime} = \frac{f^{\prime}g(x) - fg^{\prime}(x)}{g(x)^2}$$
   
   
   où $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables sur les valeurs où $g$ ne s'annule pas