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Exercice 1 - étude d'une fonction

On considère la fonction suivante :

$$f(x) = \frac{x^3}{\vert x\vert}$$

1. Déterminez le domaine de définition $D_f$ de $f$
2. Etudiez la parité de $f$
3. Calculez les limites de $f$ aux bornes de $D_f$
4. Montrez que $f$ est prolongeable par continuité sur $\mbox{I\hspace{-.15em}R}$, en une fonction $g$
5. Dérivez la fonction $g$ sur $\mbox{I\hspace{-.15em}R}^+$
6. Dérivez la fonction $g$ sur $\mbox{I\hspace{-.15em}R}^-$
7. Donnez une expression simple de $g^{\prime}$ sur $\mbox{I\hspace{-.15em}R}$
8. Déterminez le signe de $g^{\prime}$
9. Donnez les variations de la fonction $g$
10. Etudiez la dérivabilité de $g^{\prime}$ en $0$