Etant donné deux éléments et , si , alors on dit que associe à . L'ensemble des éléments qui sont associés à est .
Plus explicitement, est une application si à tout élément de
est associé exactement un élément de . On dit alors que est une
application de dans , ce qui se note
. On dit par abus de langage que est l'ensemble
de départ et l'ensemble d'arrivée.
Pour tout , on note l'élément de
qui lui est associé. On dit que est l'image de
par et un antécédent de par .
Etant donné un ensemble , il existe une application, appelée
identité, et notée , telle que tout élément à pour image
lui-même. Autrement dit :
. La
succession de symboles signifie que est l'image de
, donc signifie que a pour image lui-même.