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1.2.4 Parties

Définition 1.2.7   On dit que $A$ est contenu dans $B$, noté $A \subset B$, si $\forall e \in A, e \in B$.

Autrement dit si tout élément de $A$ est un élément de $B$. On dit aussi que $A$ est un sous-ensemble (ou une partie) de $B$.

Définition 1.2.8   Deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux, noté $A = B$ si et seulement si $A \subset B$ et $B \subset A$.

Autrement dit, si tous les éléments de $A$ sont des éléments de $B$ et si tous les éléments de $B$ sont des éléments de $A$.

Définition 1.2.9   On définit, pour tout ensemble $E$, l'ensemble $\mathcal{P}(E) = \{e \vert e \subset E\}$ des parties de $E$.

Autrement dit, $\mathcal{P}(E)$ est l'ensemble de tous les sous-ensembles de $E$. Par exemple,

$$\mathcal{P}(\{1, 2, 3\}) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\},\{3\},\{1, 2\},\{1, 3\},\{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}$$

Notez bien que $\mathcal{P}(\{1, 2, 3\})$ est un ensemble d'ensembles, et que l'ensemble vide est contenu dans tout ensemble (même vide !).