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1.16.1 Définitions

Définition 1.16.1   Une suite numérique est un ensemble de réels indicés par des entièrs naturels.

Par exemple,

$$0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$$

Autrement dit, une suite $(u)$ est une application de $\mbox{I\hspace{-.15em}N}$ dans $\mbox{I\hspace{-.15em}R}$, qui à tout indice $i$ associe une valeur réelle notée $u_i$. Par exemple,

$$u_0 = 0, u_1 = 1, u_2 = 2, u_3 = 3 , u_4 = 5, u_5 = 8, u_6 = 13, u_7 = 21, \ldots$$

Chaque élément de la suite est appelé un terme. $u_0$ est le premier terme de la suite $(u)$ énoncée précédemment, le premier terme d'une suite n'est pas nécessairement $u_0$ (les indices peuvent aussi commencer à $1$, voire à d'autres valeurs entières positives). On peut définir une suite $(u)$ de deux façons :

• avec le terme général de $(u)$, en exprimant $u_n$ en fonction de $n$. Par exemple :
  • $u_n = 3 + 2n$
  • $u_n = \frac{7}{2}(\frac{1}{3})^{n}$
• ou bien par récurrence, en précisant la valeur du (des) premier(s) terme(s), et en exprimant chaque terme en fonction du (des) terme(s) qui le précède(nt). Par exemple :
  • $u_0 = 2, u_n = (u_{n-1})^2 - 10$
  • $u_0 = 0, u_1 = 1, u_n = u_{n-1} + u_{n-2}$

Définition 1.16.2 (croissance, décroissance, monotonie)  

• Si pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n > 0$, alors $(u)$ est croissante.
• Si pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n < 0$, alors $(u)$ est décroissante.
• Si pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = 0$, alors $(u)$ est constante.
• Si $(u)$ est croissante ou décroisante, alors $(u)$ est monotone.

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