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1.1.3 Propriétés

Citons quelques propriétés des propositions. D'une part, on évite d'écrire $P = Q$ si $P$ et $Q$ sont deux propositions équivalentes. On préfèrera la notation $P \iff Q$. On admettra les propriétés suivantes

• $\neg \neg a \iff a$ (double négation)
• $\neg (a \wedge b) \iff (\neg a \vee \neg b)$ (loi de Morgan)
• $\neg (a \vee b) \iff (\neg a \wedge \neg b)$ (loi de Morgan)
• $a \vee (b \wedge c) \iff (a \vee b) \wedge (a \vee c)$ (distributivité de $\vee$ sur $\wedge$)
• $a \wedge (b \vee c) \iff (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$ (distributivité de $\wedge$ sur $\vee$)
• $a \Rightarrow b \iff \neg a \vee b$ (définition de l'implication avec la disjonction)
• $a \Rightarrow b \iff \neg b \Rightarrow \neg a$ (contraposée)
• $(a \iff b) \iff (a \Rightarrow b \wedge b \Rightarrow a)$ (définition de l'équivalence par une double implication)

Elles ne sont toutefois pas difficile à démontrer, il suffit pour chacune d'elle d'écrire sa table de vérité, et de bien vérifier que la proposition est vraie quelles que soient les valeurs de vérité des variables propositionnelles.

On dit d'une proposition qui prend la valeur vrai qu'elle est vérifiée. Une proposition qui est vérifiée quelles que soient les valeurs de vérité de ses variables propositionnelles s'appelle une tautologie. Vous remarquez que nous appelons propriété, ou théorème, des énoncés qui s'avèrent être des tautologies.

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