Combinaisons

Définition B.4.2   Soient $n$ et $p$ tels que $0 \leq p \leq n$, on note $\mathcal{C}_n^p$, et on lit "C n p" le nombre

$$\frac{n !}{p!(n-p)!}$$

Propriété B.4.1   Les égalités suivantes sont vérifiées pour tous $k$ et $n$ tels que $0 \leq k \leq n$,

• $$\mathcal{C}_n^i = \frac{1}{p!}\mathcal{A}_n^i$$
• $$\mathcal{C}_n^0 = 1$$
• $$\mathcal{C}_n^1 = n$$
• $$\mathcal{C}_n^p = \mathcal{C}_n^{n-p}$$
• $$p\mathcal{C}_n^p = n\mathcal{C}_{n-1}^{p-1}$$
• $$\mathcal{C}_n^p = \mathcal{C}_{n-1}^{p-1} + \mathcal{C}_{n-1}^{p}$$
• $$\sum_{i=0}^{n}\mathcal{C}_n^i = 2^n$$
• $$(a + b)^n = \sum_{i=0}^{n}\mathcal{C}_n^ia^ib^{n-i}$$
• $$\sum_{i=p-1}^{n-1}\mathcal{C}_i^{p-1} = \mathcal{C}_n^p$$