Cardinal

Un ensemble est infini s'il contient un nombre infini d'éléments, sinon, on dit qu'il est fini.

Définition B.2.7   Le cardinal d'un ensemble fini $E$, noté $\vert E\vert$ est le nombre d'éléments qu'il contient.

Par exemple, $\vert\emptyset\vert = 0$, $\vert\{1, 2, 4\}\vert = 3$. Seul l'ensemble vide est de cardinal $0$, un ensemble de cardinal $1$ est appelé un singleton, un ensemble de cardinal $2$ est appelé une paire.

Propriété B.2.1   Le cardinal d'un ensemble a les propriétés suivantes :

• $\vert A \cap B\vert \leq \vert A\vert$
• $\vert A \cap B\vert \leq \vert B\vert$
• $\vert A \cup B\vert \geq \vert A\vert$
• $A \setminus B \leq \vert A\vert$
• $\vert A \cup B\vert \geq \vert B\vert$
• $\vert A \cup B\vert \leq \vert A\vert + \vert B\vert$
• $\vert A \cup B\vert + \vert A \cap B\vert = \vert A\vert + \vert B\vert$
• Si $A \cap B = \emptyset$, $\vert A \cup B\vert = \vert A\vert + \vert B\vert$
• $\vert\mathcal{P}(E)\vert = 2^{\vert E\vert}$