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2.6  Matrices

2.6.1  Opérations sur les matrices

Exercice 1 Somme

Écrire une procédure calculant la somme de deux matrices.

Exercice 2 Transposition

Écrire une procédure calculant la matrice transposée d’une matrice A de dimensions (n × p) de deux façons :

  1. En plaçant dans une matrice B la transposée de A.
  2. En modifiant A de sorte qu’elle devienne sa propre transposée.

Exercice 3 Échange de lignes

Écrire une procédure échangeant deux lignes d’une matrice.

Exercice 4 Multiplication

Écrire une procédure calculant le produit de deux matrices.

Exercice 5 Plus grande colonne

Écrire une calculant l’indice de la colonne dont la somme des valeurs est la plus élevée.

2.6.2  Morceaux choisis

Exercice 6 Triangle de Pascal

Un triangle de Pascal peut être placé dans une matrice, dont seule la partie triangulaire inférieure est renseignée. La première ligne et la première colonne d’une triangle de Pascal ne contiennent que des 1. Et, si on note P(i, j) la valeur se trouvant dans la i-ème ligne et la j-ème colonne de cette matrice, alors on a

m(i, j) = m(i−1, j−1) + m(i−1, j) 

pour tous i et j supérieurs ou égaux à 1. Écrire une procédure initialisant un triangle de Pascal à n lignes.

Exercice 7 Puissances

Écrire une procédure remplissant une matrice m de la façon suivante :

m(i, j) = ij−1  

Vous utiliserez le fait que

ij = P(0, j)(i−1)0 + P(1, j)(i−1)1 + … +  P(k, j)(i−1)k + … + P(j, j)(i−1)j 

où P(a, b) est l’élément se trouvant dans la ligne b+1 et la colonne a+1 du triangle de Pascal calculé dans l’exercice précédent.

Exercice 8 Matrices de Toepliz

Soit M une matrice à n lignes et à p colonnes, on note m(i, j) l’élément de M de trouvant à la i-ème ligne et à la j-ème colonne. M est une matrice de Toepliz si pour tout i ∈ {2, …, n} et pour tout j ∈ {2, …, p},

m(i, j) = m(i−1, j) + m(i, j−1) 

Par exemple :

Écrire la procédure toepliz(entier : T[m, n] e/s) prenant en paramètre une matrice dont la première ligne et la première colonne sont initialisées. Cette procédure initialise tous les autres éléments de la matrice de sorte que T soit une matrice de Toepliz.

Exercice 9 Rotation

  1. on appelle rotation de matrice l’opération qui transforme la matrice en Écrire la procédure rotation(entier : T[m, n], Q[n, m] e/s) affectant à la matrice Q le résultat de la rotation de la matrice T.
  2. Écrire la procédure rotation(entier : T[n, n] e/s), prenant en paramètre une matrice carrée T, et modifiant cette matrice de sorte qu’elle contienne le résultat de sa rotation.