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Exercice 1

Prouver par récurrence les propriétés suivantes :

  1. Quel que soit $n \geq
0$, $n^2 + n + 1$ est impaire.
  2. Soit $(u)$ une suite définie par $u_0 = -2$, $u_{n+1} = (1/2)u_n + 3$, alors $u_n < 6$
  3. Soit $(u)$ une suite définie par $u_0 = -2$, $u_{n+1} = (1/2)u_n + 3$, alors $u_n = 6 - \frac{8}{(2^n)}$
  4. Soit $(u)$ une suite définie par $u_0 = 2$, $u_{n+1} = 2u_n - n$, alors $u_{n} = 2^n + n + 1$
  5. Pour tout $n>0$, $\displaystyle \sum_{i = 1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2} $
  6. Pour tout $n \geq
0$, $q \not = 1$, $ \displaystyle \sum_{i =
0}^{n}q^i = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $
  7. Pour tout $n>0$, $ \displaystyle \sum_{i = 1}^{n}i^2 =
\frac{n(n+1)(2n + 1)}{6} $



Alexandre
2009-05-26