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1.3.4 Théorème de Bayes

Dans la section précédente, nous avons exprimé $p(A/B)$ en fonction de $p(A)$, $p(B/A)$ et $p(B/\bar A)$. La formule ci-dessous vous sera fort utile :

Théorème 1.3.1   Étant donnés deux événements $A$ et $B$,

$$p(A/B) = \frac{p(B / A)p(A)}{p(B / A)p(A) + p(B / \bar A)p(\bar A)}$$

Prouvons-le,

$$\begin{eqnarray*} p(A/B) & = & \frac{p(A \cap B)}{p(B)}\\ & = & \frac{p(B / A)... ...& = & \frac{p(B / A)p(A)}{p(B / A)p(A) + p(B / \bar A)p(\bar A)} \end{eqnarray*}$$

Vérifions avec l'exemple de la section précédente :

$$\begin{eqnarray*} p(A/B) & = & \frac{p(B / A)p(A)}{p(B / A)p(A) + p(B / \bar A)p... ...}{0.025 + 0.36}\\ & = & \frac{0.025}{0.385}\\ & = & 0.065\\ \end{eqnarray*}$$

En fait, cette formule permet de calculer directement $p(A/B)$ sans passer par des étapes intermédiaires, qui sont à la fois une perte de temps et des sources d'erreurs.