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1.2.5 Système complet d'événements

Définition 1.2.4   Soit $E = \{E_1, \ldots, E_n\}$ un ensemble d'événements. $E$ est un système complet d'événements si

• $\forall i, j \in \{1, \ldots, n\}$ tels que $i \not = j$, $p(E_i \cap E_j) = 0$. (Tous les événements de $E$ sont incompatibles entre eux)
• $p(E_1 \cup \ldots \cup E_n) = 1$ (Il y a toujours un événement de $E$ qui est réalisé)

Autrement dit, $E$ est un système complet d'événements s'il y a toujours un et un seul événement réalisé.

Par exemple, soit $A$ un événement quelconque, alors $\{A, \bar{A}\}$ est un système complet d'événements, en effet $A$ et $\bar{A}$ sont incompatibles car $p(A \cap \bar{A}) = 0$ et $p(A \cup \bar{A}) = 1$. Prenons comme autre exemple le lancer d'un dé, soit $D_i$ l'événement "le dé tombe sur la face $i$", alors $\{D_1, \ldots, D_6\}$ est un système complet d'événements. En effet, considérons deux événements distincts $D_i$ et $D_j$, comme il est impossible qu'un dé tombe sur deux faces différentes lors du même lancer, alors $p(D_i \cap D_j) = 0$. Comme un dé tombe nécessairement sur une des faces, alors $p(D_1 \cup \ldots \cup D_6) = 1$.

Propriété 1.2.6 (probabilités totales)   Soient $A$ un événement et $E = \{E_1, \ldots, E_n\}$ un système complet d'événements, alors on a

$$p(A) = \sum_{i = 1}^n p(A \cap E_i)$$

Considérons par exemple les événements $A$ et $B$. Comme $E = \{B, \bar B\}$ forme un système complet d'événements avec $E_1 = B$ et $E_2 = \bar B$, alors $$p(A) = \sum_{i = 1}^2 p(A \cap E_i) = p(A \cap E_1) + p(A \cap E_2) = p(A \cap B) + p(A \cap \bar B)$$.

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