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5.4 Opérations entre variables aléatoires

Soit $X$ une variable aléatoire, posons $Y = aX + b$. $Y$ est aussi une variable aléatoire, $Y$ peut prendre les valeurs $\{ax_1 + b, \ldots, ax_n + b\}$ et on a $p(Y = ax_i + b) = p(X = x_i)$. On a la propriété suivante :

Propriété 5.4.1   Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires telles que $Y = aX + b$, alors

$$E(Y) = aE(X) + b$$

et

$$V(Y) = a^2V(X)$$

En effet (et en notant $p_i = p(X = x_i)$),

$$\begin{eqnarray*} \displaystyle E(Y) & = & \sum_{i=1}^n p_i(ax_i + b) \\ & = & ... ...^np_i \\ & = & a\sum_{i=1}^n p_ix_i + b\times 1 = aE(X) + b \\ \end{eqnarray*}$$

Par ailleurs,

$$\begin{eqnarray*} \displaystyle V(Y) & = & \sum_{i = 1}^n p_i(ax_i + b - E(Y))^2... ...\ & = & a^2\sum_{i = 1}^n p_i(x_i - E(X))^2\\ & = & a^2V(X)\\ \end{eqnarray*}$$