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1.10.3 Prolongement par continuité

Définition 1.10.3   Soit $f$ une fonction continue sur son domaine de définition $D_f$, et $\alpha\ \not\in D_f$ (généralement une borne de $D_f$). Alors la fonction $g$ définie sur $D_f \cup \{\alpha\}$ prolonge $f$ par continuité en $\alpha$ si

• pour tout $x \in D_f$, $f(x) = g(x)$
• $g$ est continue sur $D_f \cup \{\alpha\}$

Supposons que l'on ait bien $f(x) = g(x)$ pour tout $x \in D_f$. Alors comme $f$ est continue sur $D_f$, $g$ est continue sur $D_f$. Il suffit donc que $g$ soit continue en $\alpha$ pour que $g$ soit bien un prolongement par continuité de $f$ sur $D_f \cup \{\alpha\}$. Or,

$$\lim_{x \rightarrow \alpha} g(x) = g(\alpha)$$

si et seulement si

$$\lim_{x \rightarrow \alpha} f(x) = g(\alpha)$$

Il suffit donc de poser

$$g(\alpha) = \lim_{x \rightarrow \alpha} f(x)$$

On a donc

• $g(x) = f(x)$ pour tout $x \in D_f$
• $g(\alpha) = \lim_{x \rightarrow \alpha} f(x)$